一、手动计算技巧

1. 长除法（传统竖式法）

1. 分段：从小数点开始，每两位一组分段（整数部分从右向左，小数部分从左向右）。

2. 试根：对第一段数找最大整数 ( a )，使 ( a^2 leq ) 当前段数，余数移至下一段。

3. 迭代：每次确定根的下一数字 ( b )，满足 ( (20a + b)

imes b leq ) 当前余数，更新余数并重复直至达到精度。

4. 对齐小数点：结局的小数点位置与被开方数对齐。

参考：

2. 牛顿迭代法

1. 初始猜测 ( x_0 )（例如 ( x_0 = a/2 )）。

2. 迭代计算直到误差满足精度。

参考：

3. 连分数法

参考：

二、编程计算技巧

1. 牛顿迭代法（代码实现）

python

def sqrt_newton(a, epsilon=1e-6):

guess = a / 2

while abs(guess2

guess = (guess + a / guess) / 2

return guess

参考：

2. 二分查找法

python

def sqrt_binary(a):

low, high = 0, a

ans = -1

while low <= high:

mid = (low + high) // 2

if mid mid > 1);

float y = (float)&i;

y = y (1.5F

return y;

参考：

4. 数学库函数（直接调用）

python

import math

print(math.sqrt(2)) 精确浮点结局

print(2 0.5) 幂运算简化

参考：

三、数学原理与优化

1. 收敛性证明：牛顿法通过泰勒展开二阶逼近，保证平方根收敛（见）。

2. 误差控制：通过设定精度阈值（如 ( epsilon = 10^-6} )）终止迭代。

3. 硬件加速：现代 CPU 的 SIMD 指令（如 `rsqrtss`）已内置优化算法。

四、应用场景推荐

| 场景 | 推荐技巧 |

| 手算精确值 | 长除法（竖式法） |

| 编程快速实现 | 牛顿迭代法或数学库函数 |

| 高性能计算（如游戏引擎）| 快速平方根倒数算法 |

| 教学演示 | 连分数法或二分法 |

通过上述技巧，无论是手动计算还是编程实现，均可高效求解平方根。具体选择需结合场景需求与精度要求。